‒ Cách xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a , \overrightarrow b \): \(\left( {\overrightarrow a . Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 1. Vecto và các phép toán vecto trong không gian. Cho hình lập phương (ABCD.A’B’C’D’). Góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {DA’} ) bằng: A. ({30^ circ }). B….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA’} \) bằng:
A. \({30^ \circ }\)
B. \({45^ \circ }\)
C. \({120^ \circ }\)
D. \({60^ \circ }\)
Hướng dẫn:
‒ Cách xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \): \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\) với \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).
‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).
Lời giải:
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA’} = – \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {DA’} = – \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA’} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA’} } \right) = – AC.A’D.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA’} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {CB’} = \overrightarrow {DA’} \)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA’} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB’} } \right) = \widehat {ACB’}\).
Xét tam giác \(ACB’\) có \(AC,AB’,B’C\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.
Do đó \(AC = AB’ = B’C\). Vậy tam giác \(ACB’\) đều.
Suy ra \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA’} } \right) = \widehat {ACB’} = {60^ \circ }\).
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA’} = – AC.A’D.\cos {60^ \circ } = – \frac{1}{2}AC.A’D\).
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA’} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA’} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA’} } \right|}} = \frac{{ – \frac{1}{2}AC.A’D}}{{AC.A’D}} = – \frac{1}{2}\).
Vậy \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA’} } \right) = {120^ \circ }\).
Chọn C.