Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\): Bước 1. Lời giải Giải bài 43 trang 20 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \sin 2{\rm{x}} – x\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\);
b) \(y = x + {\cos ^2}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\);
Hướng dẫn:
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Lời giải:
a) Ta có: \(y’ = 2\cos 2{\rm{x}} – 1\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = – \frac{\pi }{6},x = \frac{\pi }{6}\).
\(y\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2};y\left( { – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – \frac{\pi }{2}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{2}\) tại \(x = – \frac{\pi }{2}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} y = – \frac{\pi }{2}\) tại \(x = \frac{\pi }{2}\).
b) Ta có: \(y’ = 1 – 2\cos x\sin x = 1 – \sin 2{\rm{x}}\)
Khi đó, trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = \frac{\pi }{4}\).
\(y\left( 0 \right) = 1;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]} y = \frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]} y = 1\) tại \(x = 0\).