Xét hàm số \(N\left( t \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\). Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 24 trang 14 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng….
Đề bài/câu hỏi:
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:
\(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\)
trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?
Hướng dẫn:
Xét hàm số \(N\left( t \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\), lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến của hàm số.
Lời giải:
Xét hàm số \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Ta có:
\(N’\left( t \right) = \frac{{{{\left( {100t} \right)}^\prime }\left( {100 + {t^2}} \right) – \left( {100t} \right){{\left( {100 + {t^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) – \left( {100t} \right).2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{ – 100{t^2} + 10000}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\)
\(N’\left( t \right) = 0\) khi hoặc \(t = 10\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;10} \right)\).
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên.