Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\): Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số. Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x});…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = x.{e^x}\); b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ – x}}\);
c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\); d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).
Hướng dẫn:
Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\).
Bước 2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,…,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải:
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {x.{e^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\)
\(y’ = 0\) khi \(x = – 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 1\), hàm số không có cực đại.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}.{e^{ – x}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }.{e^{ – x}} + {\left( {x + 1} \right)^2}.{\left( {{e^{ – x}}} \right)^\prime }\\ & = 2\left( {x + 1} \right){e^{ – x}} – {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ – x}} = \left( {1 – x} \right)\left( {x + 1} \right){e^{ – x}}\end{array}\)
\(y’ = 0\) khi \(x = – 1\) hoặc \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 1\) và đạt cực đại tại \(x = 1\).
c) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {{x^2}.\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\ln {\rm{x}} + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right)\)
\(y’ = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ – \frac{1}{2}}}\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ – \frac{1}{2}}}\), hàm số không có cực đại.
d) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {\frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{x^\prime }.\ln x – x.{{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)}^\prime }}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} – x.\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} – 1}}{{{{\ln }^2}x}}\)
\(y’ = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = 1 \Leftrightarrow x = e\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e\), hàm số không có cực đại.