Bài 107 trang 44 SBT toán 12 – Cánh diều: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số: a) y = x^3 – 2x^2 – 7x + 1 trên đoạn [ – 3

Đề bài/câu hỏi:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) \(y = {x^3} – 2{{\rm{x}}^2} – 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 3;2} \right]\);

b) \(y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\);

c) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\);

d) \(y = \ln \sqrt {{x^2} + 1} \) trên đoạn \(\left[ { – \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\);

e) \(y = x + \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Hướng dẫn:

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải:

a) Ta có: \(y’ = 3{x^2} – 4{\rm{x}} – 7\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 3;2} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = – 1,x = \frac{7}{3}\).

\(y\left( { – 3} \right) = – 23;y\left( { – 1} \right) = 5;y\left( {\frac{7}{3}} \right) = – \frac{{365}}{{27}};y\left( 2 \right) = – 13\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} y = 5\) tại \(x = – 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3;2} \right]} y = – 23\) tại \(x = – 3\).

b) Ta có: \(y’ = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 1;3} \right]\), \(y’ = 0\) vô nghiệm.

\(y\left( { – 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{{25}}{6}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} y = \frac{{25}}{6}\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} y = \frac{1}{2}\) tại \(x = – 1\).

c) Ta có: \(y’ = {x^2}{e^x}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – 2;1} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { – 2} \right) = \frac{{10}}{{{{\rm{e}}^2}}};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = e\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = e\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = \frac{{10}}{{{e^2}}}\) tại \(x = – 2\).

d) Ta có: \(y’ = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { – \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { – \sqrt 3 } \right) = \ln 2;y\left( 0 \right) = 0;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = \ln 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = \ln 3\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).

e) Ta có: \(y’ = 1 – 2\sin 2{\rm{x}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\), \(y’ = 0\) khi \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).

\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4};y\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{12}} – \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} – 1\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{4}\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{{5\pi }}{{12}} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) tại \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).