Bài 9.25 trang 97 Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2x – 1/x + 2 ^5 b) y = 2x/x^2 + 1; c) y = e^x/sin ^2x

Đề bài/câu hỏi:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 2}}} \right)^5}\)

b) \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\);

c) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\);

d) \(y = \log (x + \sqrt x )\).

Hướng dẫn:

Sử dụng quy tắc kết hợp với các công thức tính đạo hàm

Lời giải:

a) \(y’ = 5{\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 2}}} \right)^4}{\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 2}}} \right)^,} = 5{\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 2}}} \right)^4}.\frac{{2\left( {x + 2} \right) – \left( {2x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 5{\left( {\frac{{2x – 1}}{{x + 2}}} \right)^4}.\frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{25{{\left( {2x – 1} \right)}^4}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^6}}}\)

b) \(y’ = \frac{{\left( {2x} \right)’\left( {{x^2} + 1} \right) – 2x\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2 – 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ – 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\);

c) \(y’ = \left( {{e^x}} \right)'{\sin ^2}x + {e^x}\left( {{{\sin }^2}x} \right)’ = {e^x}{\sin ^2}x + {e^x}.2\sin x.\cos x = {e^x}{\sin ^2}x + {e^x}\sin 2x\);

d) \(y’ = {\left[ {\log \left( {x + \sqrt x } \right)} \right]^,} = \frac{{\left( {x + \sqrt x } \right)’}}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}} = \frac{{1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}} = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{2\sqrt x \left( {x + \sqrt x } \right)\ln 10}}\)