Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right). \. Lời giải Bài 9.16 trang 96 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài 33. Đạo hàm cấp hai. Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {x + frac{pi }{4}} right)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Chứng minh rằng \(\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.
Hướng dẫn:
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right).\) Nếu hàm số \(y’ = f’\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y’\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y”\) hoặc \(f”\left( x \right).\)
Lời giải:
Ta có \(f’\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Rightarrow f”\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
Mặt khác \( – 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow – 4 \le f”\left( x \right) \le 4\)
Vậy \(\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4\) với mọi x.