Bài 5.4 trang 109 Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số a) 1, (12) = 1, 121212…; b) 3, (102) = 3

Đề bài/câu hỏi:

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1, (12) = 1, 121212…; b) 3, (102) = 3, 102102102…

Hướng dẫn:

Dựa vào công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\).

Lời giải:

a) \(1,12121212 \ldots . = 1 + 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \ldots \)

\(1 + 12 \times {10^{ – 2}} + 12 \times {10^{ – 4}} + 12 \times {10^{ – 6}} + \ldots \)

\(12 \times {10^{ – 2}} + 12 \times {10^{ – 4}} + 12 \times {10^{ – 6}} + \ldots \)là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có

\({u_1} = 12 \times {10^{ – 2}},\;q = {10^{ – 2}}\)

Nên \(1,121212 \ldots = 1 + \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = 1 + \frac{{12 \times {{10}^{ – 2}}}}{{1 – {{10}^{ – 2}}}} = \frac{{37}}{{33}}\)

b) \(3,102102102 \ldots = 3 + 0.102 + 0.000102 + \ldots \)

\( = 3 + 102 \times {10^{ – 3}} + 102 \times {10^{ – 6}} + \ldots \)

\(102 \times {10^{ – 3}} + 102 \times {10^{ – 6}} + 102 \times {10^{ – 9}} + \ldots \) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có

\({u_1} = 102 \times {10^{ – 3}},\;q = {10^{ – 3}}\)

Nên \(3,102102102 \ldots = 1 + \frac{{{u_1}}}{{1 – q}} = 1 + \frac{{\left( {102 \times {{10}^{ – 3}}} \right)}}{{1 – {{10}^{ – 3}}}} = \frac{{1033}}{{333}}\)