Sử dụng các quy tắc, một số giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn Tổng cấp số cộng \({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}. n\. Trả lời Bài 25 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối năm. Tính các giới hạn sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n – 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}}\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{2{x^2} + 3x – 2}}{{{x^2} – 4}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1} + 2x} \right)\).
Hướng dẫn:
– Sử dụng các quy tắc, một số giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn
– Tổng cấp số cộng \({S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}.n\)
– Tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)
Lời giải:
a) Ta có 1, 3, 5,…, 2n – 1 là cấp số cộng gồm \(\frac{{2n – 1 – 1}}{2} + 1 = n\) số hạng
Do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n – 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{1 + 2n – 1}}{2}.n}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 1\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)\)
Ta có \(1,\frac{2}{3},\frac{4}{9}, \cdots ,\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}\) là cấp số nhân có \({u_1} = 1,q = \frac{2}{3}\) và gồm n + 1 số hạng nên
\(1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} = \frac{{1 – {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 – \frac{2}{3}}} = 3 – 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n + 1}}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3 – 3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}} \right] = 3 – 3.0 = 3\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{2{x^2} + 3x – 2}}{{{x^2} – 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x – 1} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = \frac{{2.\left( { – 2} \right) – 1}}{{ – 2 – 2}} = 2\)
d)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{4{x^2} + x + 1 – 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} – 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ – \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} – 2}} = \frac{{1 + 0}}{{ – \sqrt {4 + 0 + 0} – 2}} = \frac{{ – 1}}{4}\)