Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân: \({u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\). Trả lời Bài 2.30 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 2. Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21,…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân:
\({u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\).
\(u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}\).
Lời giải:
Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: \({u_{n – 1}},\;{u_n},\;{u_{n + 1}}\)
Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({u_{n – 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Mà đề bài: \({u_{n – 1}} + {u_n} + {u_{n + 1}} = 21\) suy ra \(3{u_n} = 21\;\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u_n} = 7\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{n – 1}} = {u_n} – d = 7 – d\\{u_{n + 1}} = {u_n} + d = 7 + d\end{array} \right.\end{array}\)
Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào 3 số ta được: \({u_{n – 1}} + 2,\;{u_n} + 3,\;{u_{n + 1}} + 9\) hay \(9 – d,\;10,\;16 + d\)
Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {9 – d} \right)\left( {16 + d} \right) = {10^2}\\ \Leftrightarrow {d^2} + 7d – 44 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = – 11\\d = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy 3 số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.