Sử dụng công thức tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức. Lời giải bài tập, câu hỏi Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 2. Chứng minh rằng: a) Trong một cấp số cộng (left( {{u_n}} right)),…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\({u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).
b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.
Lời giải:
a) Ta có \({u_{k – 1}} = {u_1} + \left( {k – 2} \right)d\)
\({u_k} = {u_1} + \left( {k – 1} \right)d\)
\({u_{k + 1}} = {u_1} + kd\)
Do đó:
\({u_{k – 1}} + {u_{k + 1}} = {u_1} + \left( {k – 2} \right)d + {u_1} + kd = 2{u_1} + \left( {2k – 2} \right)d\) \( = 2\left[ {{u_1} + \left( {k – 1} \right)d} \right] = 2{u_k}\)
Suy ra: \({u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).
b) Ta có: \({u_{k – 1}} = {u_1} \times {q^{k – 2}}\)
\({u_k} = {u_1} \times {q^{k – 1}}\)
\({u_{k + 1}} = {u_1} \times {q^k}\)
Do đó:
\({u_{k – 1}} \times {u_{k + 1}} = \left( {{u_1} \times {q^{k – 2}}} \right) \times \left( {{u_1} \times {q^k}} \right) = u_k^2.{q^{2k – 2}} = {\left( {{u_1}.{q^{k – 1}}} \right)^2} = u_k^2\) (đpcm).