Trả lời Thực hành 3 Bài 2. Giới hạn của hàm số (trang 73, 74, 75) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hướng dẫn: − Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right).
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 – 2x}&{khi\,\,x \le – 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x > – 1}\end{array}} \right.\).
Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right)\) (nếu có).
Hướng dẫn:
− Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\), ta áp dụng định lý về giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số.
− Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right)\), ta so sánh hai giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right) = L\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right) = L\).
• Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right)\).
Lời giải:
a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} > – 1\) và \({x_n} \to – 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2\)
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = \lim x_n^2 + \lim 2 = {\left( { – 1} \right)^2} + 2 = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) = 3\).
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} < – 1\) và \({x_n} \to – 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 – 2{x_n}\).
Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 – 2{x_n}} \right) = \lim 1 – \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 1 – 2\lim {x_n} = 1 – 2.\left( { – 1} \right) = 3\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f\left( x \right) = 3\).
b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} f\left( x \right) = 3\).