Lời giải Hoạt động 2 Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (trang 57, 58, 59) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Sử dụng tính chất trung tuyến của đoạn thẳng.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau \(a\) và \(b\) trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Xét một đường thẳng \(c\) bất kì trong \(\left( P \right)\) (\(c\) không song song với \(a\) và \(b\)). Gọi \(O\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Trong \(\left( P \right)\) vẽ qua \(O\) ba đường thẳng \(a’,b’,c’\) lần lượt song song với \(a,b,c\). Vẽ một đường thẳng cắt \(a’,b’,c’\) lần lượt tại \(B,C,D\). Trên \(d\) lấy hai điểm \(E,F\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(EF\) (Hình 4).
a) Giải thích tại sao hai tam giác \(CEB\) và \(CFB\) bằng nhau.
b) Có nhận xét gì về tam giác \(DEF\)? Từ đó suy ra góc giữa \(d\) và \(c\).
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất trung tuyến của đoạn thẳng.
Lời giải:
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}d \bot a\\a’\parallel a\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a’ \Rightarrow EF \bot OB\)
Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) \( \Rightarrow BE = BF\)
\(\left. \begin{array}{l}d \bot b\\b’\parallel b\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot b’ \Rightarrow EF \bot OC\)
Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) \( \Rightarrow CE = CF\)
Xét \(\Delta CEB\) và \(\Delta CFB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}BE = BF\\CE = CF\\BC:chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CEB = \Delta CFB\left( {c.c.c} \right)\)
b) \(\Delta CEB = \Delta CFB \Rightarrow DE = DF\)
\( \Rightarrow D\) nằm trên đường trung trực của \(EF \Rightarrow OD \bot EF \Rightarrow c’ \bot d\)
Lại có \(c\parallel c’\)
Vậy \(c \bot d \Rightarrow \left( {c,d} \right) = {90^ \circ }\).