Giải chi tiết Hoạt động 2 Bài 1. Đạo hàm (trang 39, 40) – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Tính giới hạn \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\).
a) Vẽ \(\left( C \right)\) và tính \(f’\left( 1 \right)\).
b) Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\) và có hệ số góc bằng \(f’\left( 1 \right)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(\left( C \right)\).
Hướng dẫn:
a) Tính giới hạn \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\).
b) Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có hệ số góc \(k\) là: \(y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)\).
Lời giải:
a)
\(\begin{array}{l}f’\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{2}}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {{x^2} – 1} \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 1} \right) = 1\end{array}\)
b) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k = f’\left( 1 \right) = 1\) là: \(y – \frac{1}{2} = 1\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = x – 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x – \frac{1}{2}\).
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại duy nhất điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).