Bài 9 trang 42 Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Chứng minh đẳng thức lượng giác: a) ;sin(α + β ). sin(α – β ) = sin^2α – sin^2β b) ;cos^4α – cos^4 α – π /2 = cos2α

Đề bài/câu hỏi:

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

\(\begin{array}{l}a)\;sin(\alpha + \beta ).sin(\alpha – \beta ) = si{n^2}\alpha – si{n^2}\beta \\b)\;co{s^4}\alpha – co{s^4}\left( {\alpha – \frac{\pi }{2}} \right) = cos2\alpha \end{array}\)

Hướng dẫn:

Áp dụng:

a, \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) – \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

b, \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải:

\(a)\;sin(\alpha + \beta ).sin(\alpha – \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha + \beta – \alpha + \beta } \right) – cos\left( {\alpha + \beta + \alpha – \beta } \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta – cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 – 2si{n^2}\beta – 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha – si{n^2}\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha – co{s^4}\left( {\alpha – \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha – si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha – si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha = cos2\alpha .\end{array}\)