Bài 6 trang 41 Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay

Đề bài/câu hỏi:

Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10sin\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right).\)Vào các thời điểm nào thì \(s = – 5\sqrt 3 \;\)cm?

Hướng dẫn:

Phương trình sinx = m ,

• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha = m\),

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi – \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Khi: \(s = – 5\sqrt 3 \;\)thì \(10sin\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = – 5\sqrt 3 \; \Leftrightarrow sin\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10t + \frac{\pi }{2} = – \frac{\pi }{3} + k2\pi \\10t + \frac{\pi }{2} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\\t = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(t = \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\) là giá trị cần tìm.