Sử dụng tỉ số diện tích. Lời giải Bài 6 trang 127 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 4. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 10. \(M\) là điểm trên \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(C{\rm{D}}\), cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là
A. \(\frac{{400}}{9}\).
B. \(\frac{{200}}{3}\).
C. \(\frac{{40}}{9}\).
D. \(\frac{{200}}{9}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng tỉ số diện tích.
Lời giải:
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại \(N\).
Qua \(N\) dựng đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(SC\) tại \(P\).
Qua \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AD\), cắt \(SD\) tại \(Q\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MQ\parallel AD\\AD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}MN\parallel \left( {ABCD} \right)\\MQ\parallel \left( {ABCD} \right)\\MN,MQ \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{{MN}}{{AB}}} \right)^2}\)
Ta có: \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {10^2} = 100\)
\(MN\parallel AB \Rightarrow \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{MNPQ}}}}{{{S_{ABC{\rm{D}}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{4}{9}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{4}{9}.100 = \frac{{400}}{9}\)
Chọn A.