Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m. Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\. Phân tích và giải Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản. Giải các phương trình lượng giác sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Giải các phương trình lượng giác sau:
\(\begin{array}{l}a)\;cot\left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1\\b)\;cot3x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
Hướng dẫn:
Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.
Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha = m\). Khi đó:
\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Lời giải:
a, Điều kiện xác định: \(\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne – \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Ta có: \(cot\left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Leftrightarrow cot\left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cot \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = – \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\,\,(TM).\)
Vậy \(x = – \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\,\).
b, Điều kiện xác định: \(3x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}.\)
\(\;cot3x = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow cot3x = \cot \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3x = – \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\,\,(TM).\)
Vậy \(x = – \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\,\).