Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định. Bước 2: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\). Bước 3. Giải và trình bày phương pháp giải Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo – Bài 3. Hàm số liên tục. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne – 2}\\a&{khi\,\,x = – 2}\end{array}} \right.\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne – 2}\\a&{khi\,\,x = – 2}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn:
Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 2: Tính \(f\left( {{x_0}} \right)\).
Bước 3: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\).
Bước 4: Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) để tìm \(a\).
Lời giải:
Trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( { – 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( { – 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} \left( {x – 2} \right) = – 2 – 2 = – 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = – 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 2} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right) \Leftrightarrow a = – 4\).
Vậy với \(a = – 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).