Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi nhằm xuất hiện \({4^\alpha } + {4^{ – \alpha }}\. Hướng dẫn giải Bài 11 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối Chương 6. Biết ({4^alpha } + {4^{ – alpha }} = 5)….
Đề bài/câu hỏi:
Biết \({4^\alpha } + {4^{ – \alpha }} = 5\).
Tính giá trị của các biểu thức:
a) \({2^\alpha } + {2^{ – \alpha }}\);
b) \({4^{2\alpha }} + {4^{ – 2\alpha }}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi nhằm xuất hiện \({4^\alpha } + {4^{ – \alpha }}\)
Lời giải:
a) Ta có:
\({\left( {{2^\alpha } + {2^{ – \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{2^\alpha }} \right)^2} + {2.2^\alpha }{.2^{ – \alpha }} + {\left( {{2^{ – \alpha }}} \right)^2} = {4^\alpha } + 2 + {4^{ – \alpha }} = \left( {{4^\alpha } + {4^{ – \alpha }}} \right) + 2 = 5 + 2 = 7\)
Vậy \({2^\alpha } + {2^{ – \alpha }} = \sqrt 7 \).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}{4^{2\alpha }} + {4^{ – 2\alpha }} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + {\left( {{4^{ – \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + {2.4^\alpha }{.4^{ – \alpha }} + {\left( {{4^{ – \alpha }}} \right)^2} – {2.4^\alpha }{.4^{ – \alpha }}\\ = {\left( {{4^\alpha } + {4^{ – \alpha }}} \right)^2} – 2 = {5^2} – 2 = 23\end{array}\)
Vậy \({4^{2\alpha }} + {4^{ – 2\alpha }} = 23\).