Bài 1 trang 60 Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân? a) u_n = 3 – 2 ^n

Đề bài/câu hỏi:

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?

a) \({u_n} = 3{\left( { – 2} \right)^n}\);

b) \({u_n} = {\left( { – 1} \right)^{n + 1}}{.7^n}\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.\).

Hướng dẫn:

Bước 1: Tính \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

Bước 3: Kết luận:

‒ Nếu \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không đổi thì dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).

‒ Nếu \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) thay đổi với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy số không là cấp số nhân.

Lời giải:

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = 3{\left( { – 2} \right)^{n + 1}}\)

Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{3{{\left( { – 2} \right)}^{n + 1}}}}{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}}} = \frac{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}.\left( { – 2} \right)}}{{3{{\left( { – 2} \right)}^n}}} = – 2\)

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = – 2\).

b) Ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( { – 1} \right)^{\left( {n + 1} \right) + 1}}{.7^{n + 1}} = {\left( { – 1} \right)^{n + 2}}{.7^{n + 1}}\)

Xét thương: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 2}}{{.7}^{n + 1}}}}{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = \frac{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}.\left( { – 1} \right){{.7}^n}.7}}{{{{\left( { – 1} \right)}^{n + 1}}{{.7}^n}}} = – 7\)

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội \(q = – 7\).

c) Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = 2{u_1} + 3 = 2.1 + 3 = 5;{u_3} = 2{u_2} + 3 = 2.5 + 3 = 13\)

Vì \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên dãy số không là cấp số nhân.