Giải chi tiết Luyện tập, vận dụng 4 Bài 1. Giới hạn của dãy số (trang 62) – SGK Toán 11 Cánh diều. Tham khảo: Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu hỏi/Đề bài:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).
Lời giải:
a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n} = \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)} = \sqrt {0 + 1} = 1\)