Trả lời Hoạt động 4 Bài 1. Giới hạn của dãy số (trang 63) – SGK Toán 11 Cánh diều. Gợi ý: Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)
a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.
b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)
Hướng dẫn:
– Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).
– Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)
Lời giải:
a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)
b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = 1.\frac{{1 – {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 – \frac{1}{2}}} = 2 – 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 – 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 – 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)