Đáp án Hoạt động 9 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 68, 69) – SGK Toán 11 Cánh diều. Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} \frac{{f\left( x \right) – f\left(.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho hai hàm số \(f(x);\,g(x)\) xác định trên khoảng (a; b), cùng có đạo hàm tại điểm \({x_0} \in (a;b)\)
a) Xét hàm số \(h(x) = f(x) + g(x);\,\,x \in (a;b)\). So sánh
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) – h({x_0})}}{{\Delta x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – g({x_0})}}{{\Delta x}}\)
b) Nêu nhận xét về \(h'({x_0})\) và \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\Delta x = x – {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) – h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) – h\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) – f({x_0}) – g\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) – g\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\)
b) \(h'({x_0})\) = \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)