Lời giải Hoạt động 5 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 64, 65, 66, 67) – SGK Toán 11 Cánh diều. Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x.
Câu hỏi/Đề bài:
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm sô \(y = \tan x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\)
Lời giải:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x – \tan {x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x – \tan {x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\sin {x_0}}}{{\cos {x_0}}}}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x\cos {x_0} – \sin {x_0}\cos x}}{{\cos x\cos {x_0}}}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\cos x\cos {x_0}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{x_0}}}\\ \Rightarrow f'(x) = (\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\end{array}\)