Hướng dẫn giải Hoạt động 4 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 64, 65, 66, 67) – SGK Toán 11 Cánh diều. Gợi ý: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\.
Câu hỏi/Đề bài:
Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) tại điểm x bất kì
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\)
Lời giải:
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cos x – \cos {x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – 2\,.\,\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x – {x_0}}}{2}}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – 2.\frac{{x – {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\left( { – \sin \frac{{x + {x_0}}}{2}} \right) = – \sin \frac{{2{x_0}}}{2} = – \sin {x_0}\\ \Rightarrow f'(x) = (\cos x)’ = – \sin x\end{array}\)