Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SGK Toán 11 - Cánh diều Hoạt động 3 Bài 2 (trang 64, 65, 66, 67) Toán 11:...

Hoạt động 3 Bài 2 (trang 64, 65, 66, 67) Toán 11: Sử dụng kiết quả mathop lim limits_x -> 0 sin x/x = 1, tính đạo hàm của hàm số y = sin x

Giải chi tiết Hoạt động 3 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 64, 65, 66, 67) – SGK Toán 11 Cánh diều. Gợi ý: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\.

Câu hỏi/Đề bài:

Sử dụng kiết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Hướng dẫn:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x – \sin {x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\,.\,\cos x\frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x – {x_0}}}{2}}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2.\frac{{x – {x_0}}}{2}.\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos \frac{{2{x_0}}}{2} = \cos {x_0}\end{array}\)

Suy ra, \((\sin x)’ = \cos x\)