Hướng dẫn giải Hoạt động 1 Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm (trang 64, 65, 66, 67) – SGK Toán 11 Cánh diều. Tham khảo: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\.
Câu hỏi/Đề bài:
a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì bằng định nghĩa
b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\)
Lời giải:
a)
\(\begin{array}{l}f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} – x_0^2}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln x}} – {e^{2.\ln {x_0}}}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{2\ln x – 2\ln {x_0}}} – 1} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {{e^{2.\ln x – 2\ln {x_0}}} – 1} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {2\ln x – 2\ln {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x – {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} – 1} \right)}}{{x – {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} – 1}}{{x – {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x – {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x – {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}}\\ = 2x_0^2.\frac{1}{{{x_0}}} = 2x\\ \Rightarrow \left( {{x^2}} \right)’ = 2x\end{array}\)b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì: \(y’ = n.{x^{n – 1}}\)