Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SGK Toán 11 - Cánh diều Bài 3 trang 88 Toán 11 tập 2 – Cánh Diều: Cho...

Bài 3 trang 88 Toán 11 tập 2 – Cánh Diều: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H

Dựa vào điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh. Lời giải bài tập, câu hỏi Bài 3 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều – Bài 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Cho tứ diện ABCD có (AB bot (BCD)), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn….

Đề bài/câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot (BCD)\), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Chứng minh rằng:

a) \(CD \bot (ABH)\)

b) \(CD \bot (ABK)\)

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Hướng dẫn:

Dựa vào điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh

Lời giải:

a) Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)

Có H là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow BH \bot CD\left( 2 \right)\)

Tử (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)

b) Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot CD\left( 1 \right)\)

Có K là trực tâm của tam giác BCD \( \Rightarrow AK \bot CD\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right)\)

c) Ta có: \( CD \bot \left( {ABH} \right)\) và \(CD \bot \left( {ABK} \right)\). Mà theo tính chất 1, chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua A và B vuông góc với CD. Nên \(\left( {ABH} \right) \equiv \left( {ABK} \right)\).

Ta có H là trực tâm của tam giác BCD nên BH giao với CD tại 1 điểm I, K là trực tâm của tam giác ACD nên AK giao với CD tại 1 điểm I’.

Mà (ABHK) cắt CD tại 1 điểm thuộc CD.

Nên I và I’ trùng nhau hay AK, BH, CD cùng đi qua một điểm.