Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(f(x)\. Hướng dẫn cách giải/trả lời Bài 1 trang 72 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều – Bài 2. Giới hạn của hàm số. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to – 3} {x^2};…
Đề bài/câu hỏi:
Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {x^2};\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 25}}{{x – 5}}.\)
Hướng dẫn:
Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có\(f({x_n}) \to L\)
Lời giải:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {x^2};\)
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = – 3.\)
Ta có \(\lim x_n^2 = {\left( { – 3} \right)^2} = 9\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} {x^2} = 9.\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 25}}{{x – 5}}.\)
Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \(\lim {x_n} = 5.\)
Ta có \(\lim \frac{{{x_n}^2 – 25}}{{{x_n} – 5}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} – 5} \right)\left( {{x_n} + 5} \right)}}{{{x_n} – 5}} = \lim \left( {{x_n} + 5} \right) = \lim {x_n} + 5 = 5 + 5 = 10\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} – 25}}{{x – 5}} = 10.\)