Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức Bài 7.47 trang 42 SBT toán 11 – Kết nối tri thức:...

Bài 7.47 trang 42 SBT toán 11 – Kết nối tri thức: Cho hình chóp S. ABCDcó tất cả các cạnh đều bằng a, gọi Olà giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng A

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(AB, CD\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN. \) Vì \(AB{\rm{//}}CD\. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 7.47 trang 42 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)….

Đề bài/câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có tất cả các cạnh đều bằng \(a\), gọi \(O\)là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

C. .\(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(AB,CD\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN.\)

Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên\(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SON) \Rightarrow CD \bot OH\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O;(SCD)} \right) = OH.\)

Tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) nên \(O{S^2} = S{D^2} – O{D^2}\)

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OH\)

Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = 2OH\).

Lời giải:

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(AB,CD\); \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(SN.\)

Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SON) \Rightarrow CD \bot OH\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O;(SCD)} \right) = OH.\)

Tam giác \(SOD\) vuông tại \(O\) nên \(O{S^2} = S{D^2} – O{D^2} = {a^2} – {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = 2OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).