Áp dụng quy tắc tính logarit \({\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N;\. Gợi ý giải Giải bài 6.12 trang 10 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 19. Lôgarit. Chứng minh rằng:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng:
a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = 0\);
b) \({\rm{ln}}\left( {1 + {e^{2x}}} \right) = 2x + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ – 2x}}} \right)\).
Hướng dẫn:
Áp dụng quy tắc tính logarit
\({\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N;\)
Biến đổi \(1 + {e^{2x}}{e^{2x}} = \left( {1 + {e^{ – 2x}}} \right)\)
Lời giải:
a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left[ {\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)} \right]\)
\({\rm{ = lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {{x^2} – \left( {{x^2} – 1} \right)} \right) = \)\( = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}1 = 0\).
b) \({\rm{ln}}\left( {1 + {e^{2x}}} \right) = {\rm{ln}}\left[ {{e^{2x}}\left( {1 + {e^{ – 2x}}} \right)} \right] = {\rm{ln}}{e^{2x}} + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ – 2x}}} \right)\)\( = 2x + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ – 2x}}} \right){\rm{.\;}}\)