Tính lần lượt các cạnh hình vuông \({H_2}\), diện tích hình vuông \({H_2}\) rồi suy ra công thức tính diện tích \({H_1}, \, {H_2}, \. Hướng dẫn giải Giải bài 5.44 trang 89 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 5. Cho hình vuông \({H_1}\) có cạnh bằng a….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình vuông \({H_1}\) có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \({H_2}\) Lặp lại cách làm như trên với hình vuông \({H_2}\) để được hình vuông \({H_3}\).
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông \({H_1},\,{H_2},\,{H_3},…,{H_n},…\) Gọi \({s_n}\) là diện tích của hình vuông \({H_n}\).
Hướng dẫn:
Tính lần lượt các cạnh hình vuông \({H_2}\), diện tích hình vuông \({H_2}\) rồi suy ra công thức tính diện tích \({H_1},\,{H_2},\,{H_3},…,{H_n},…\) Dùng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn để tính ra diện tích của hình vuông \({H_n}\).
Lời giải:
Cạnh của hình vuông \({H_2}\) là \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{5}{8}} a.\)
Khi đó \({s_2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{s_1}\).
Lí luận tương tự, ta có \({s_3} = \frac{5}{8}{s_2},…,{s_n} = \frac{5}{8}{s_{n – 1}} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{n – 1}}{a^2}\). Từ đó
\(T = {s_1} + {s_2} + … + {s_n} + … = {a^2}\left[ {1 + \frac{5}{8} + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^2} + … + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^{n – 1}} + …} \right] = \frac{{8{a^2}}}{3}\).