Xét tính liên tục của hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\, khi\, x \ge {x_0}\\{f_2}(x)\, khi\, x < {x_0}\end{array} \right. \)trên tập số thực R. Gợi ý giải Giải bài 31 trang 71 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập ôn tập cuối năm. Tìm \(m\) để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\):…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm \(m\) để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\):
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 5} – 2}}{{x + 1}}}&{{\rm{\;khi\;}}x > – 1}\\{m \cdot {4^{ – x}} + 1}&{{\rm{\;khi\;}}x \le – 1}\end{array}} \right.\)
Hướng dẫn:
Xét tính liên tục của hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,khi\,x \ge {x_0}\\{f_2}(x)\,khi\,x < {x_0}\end{array} \right.\)trên tập số thực R.
Cách giải :
*Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = {x_0}\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\)
*Xét tính liên tục của hàm số với mọi \(x > {x_0}\)
*Xét tính liên tục của hàm số với mọi \(x < {x_0}\)
Lời giải:
Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( { – 1; + \infty } \right)\).
Hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = – 1\).
Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x = – 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \left( {m{{.4}^{ – x}} + 1} \right) = 4m + 1\) và \(f\left( { – 1} \right) = 4m + 1\)
Suy ra hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{4} = 4m + 1 \Leftrightarrow m = – \frac{3}{{16}}\).