Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + . . . + {u_n}\). Lời giải Giải bài 2.25 trang 39 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 7. Cấp số nhân. Tính các tổng sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tính các tổng sau:
a) \(1 + 4 + 16 + 64 + … + {4^9}\)
b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + … + \frac{{{2^{12}}}}{3}\)
Hướng dẫn:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n}\). Khi đó, \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\)
Lời giải:
a) Ta nhận thấy các số hạng của tổng là cấp số nhân với \({u_1} = 1,\) công bội \(q = 4\) và có 10 số hạng. Vậy \(1 + 4 + 16 + 64 + … + {4^9} = 1.\frac{{1 – {4^{10}}}}{{1 – 4}} = 349\;525\)
b) Ta nhận thấy các số hạng của tổng là cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{3},\) công bội \(q = 2\) và có 13 số hạng. Vậy \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{{{2^2}}}{3} + … + \frac{{{2^{12}}}}{3} = \frac{1}{3}.\frac{{1 – {2^{13}}}}{{1 – 2}} = \frac{{8\;191}}{3}\)