Áp dụng công thức góc liên quan, công thức biến tích thành tổng, công thức góc nhân đôi. Trả lời Giải bài 1.56 trang 28 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 1. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\);
b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
d) \(D = \frac{{1 – \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức góc liên quan, công thức biến tích thành tổng, công thức góc nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản để biến đổi linh hoạt.
\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \sin x\)
\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)} \right)\)
\(\cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1\)
\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)
\(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\,;\,\,\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}\); \(\tan a.\cot a = 1\).
Lời giải:
a) Ta có
\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = 0\end{array}\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{6} – x} \right) = 0\end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l}C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x – \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos ( – 2x)} \right] = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { – \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x – \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) = \frac{1}{4}\end{array}\)
d) Ta có
\(\begin{array}{l}D = \frac{{1 – \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 – (1 – 2{{\sin }^2}x) + 2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x – 1 + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sin x(\sin x + \cos x)}}{{2\cos x(\cos x + \sin x)}}.\cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\end{array}\)