Giải chi tiết Câu 12 Bài tập cuối chương 8 (trang 74, 75) – SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính.
Câu hỏi/Đề bài:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật \(AB = a,AD = a\sqrt 3 \), SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc \({30^0}\). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
C. \(V = 2\sqrt 6 {a^3}\)
D. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\)
Hướng dẫn:
– Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng \({90^0}\).
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).
– Sử dụng kiến thức về thể tích hình chóp: Thể tích hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: \(V = \frac{1}{3}S.h\)
Lời giải:
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC,AB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC,SA \bot AB\) .
Ta có: \(SA \bot BC,AB \bot BC\) (do ABCD là hình chữ nhật), SA và AB cắt nhau tại A trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \) B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB).
Do đó, \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {CSB} = {30^0}\)
Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Do đó, tam giác SBC vuông tại B.
Suy ra: \(SB = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {BSC}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 3a\)
Tam giác SAB vuông tại A nên ta có: \(SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} – {a^2}} = 2a\sqrt 2 \) (Định lí Pythagore)
Thể tích khối chóp S. ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 2 .a.a\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)
Chọn A