Trả lời Câu 11 Bài tập cuối chương 3 (trang 91, 92, 93) – SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính.
Câu hỏi/Đề bài:
Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2ax}}{{\sqrt {{x^2} + ax} + x}} = 3\). Giá trị của a là
A. \(\frac{3}{4}\).
B. 6.
C. \(\frac{3}{2}\).
D. 3.
Hướng dẫn:
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) với \(M \ne 0\), nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\) (với c là hằng số)
Lời giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2ax}}{{\sqrt {{x^2} + ax} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + \frac{a}{x}} + 1}} = \frac{{2a}}{2} = a\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2ax}}{{\sqrt {{x^2} + ax} + x}} = 3\) nên \(a = 3\)
Chọn D