Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 9 trang 95 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo...

Bài 9 trang 95 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hàm số f x = 2x + 1/x – 3. a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn giải Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài tập cuối chương 3. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}\)….

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}\).

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

b) + Sử dụng kiến thức về của hàm số để tính:

– Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g\left( x \right) = – \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = – \infty \)

– Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty \)

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = M\), khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\)

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\) (với c là hằng số, k là số nguyên dương)

Lời giải:

a) Hàm số f(x) xác định khi \(x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\). Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \left( { – \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \(\left( { – \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x – 3}} = + \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] = + \infty \)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{1}{{x – 3}} = – \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] = – \infty \)