Bài 8 trang 94 SBT toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hàm số f x = x^2 – 9/| x + 3 |;khi;x ne – 3;;;;a;;;; khi;x = – 3 .

Đề bài/câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}}\;khi\;x \ne – 3\\\;\;\;\;a\;\;\;\;\,khi\;x = – 3\end{array} \right.\)

a) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right)\).

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại \(x = – 3\).

Hướng dẫn:

a) + Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (với \(M \ne 0\))

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g\left( x \right) = M\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (với \(M \ne 0\))

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c\) (với c là hằng số)

b) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{{x^2} – 9}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \left( {x – 3} \right) = – 6\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{{x^2} – 9}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{{x^2} – 9}}{{ – x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{\left( {x – 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{ – \left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \left( {3 – x} \right) = 6\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right) = – 6 – 6 = – 12\)

b) Theo a ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) = – 6,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right) = 6 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right)\). Do đó, không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – 3} f\left( x \right)\). Vậy không có giá trị nào của a để hàm số f(x) liên tục.