* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Phân tích và giải Giải bài 7 trang 58 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 1. Dãy số. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\…
Đề bài/câu hỏi:
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{n^2}}}\).
Hướng dẫn:
* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải:
Ta có: \({u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
Ta có:
\({u_{n + 1}} – {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} – \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\)\( = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Suy ra, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Do \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + … + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{\left( {n – 1} \right)n}}\)
\( \Rightarrow {u_n} < 1 + 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{{n – 1}} – \frac{1}{n} = 2 – \frac{1}{n}\)
Do đó, \(1 < {u_n} < 2\forall n \in \mathbb{N}*\)
Suy ra, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.