Sử dụng kiến thức về khái niệm cấp số cộng để tìm dãy số là cấp số cộng. Gợi ý giải Giải bài 1 trang 60 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài 2. Cấp số cộng. Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau,…
Đề bài/câu hỏi:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
a) \({u_n} = 2n + 3\);
b) \({u_n} = – 3n + 1\);
c) \({u_n} = {n^2} + 1\);
d) \({u_n} = \frac{2}{n}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về khái niệm cấp số cộng để tìm dãy số là cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) với \(n \in \mathbb{N}*\). Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Lời giải:
a) Ta có: \({u_{n + 1}} – {u_n} = 2\left( {n + 1} \right) + 3 – 2n – 3 = 2\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên là cấp số cộng.
Cấp số cộng này có số hạng đầu \({u_1} = 5\) và công sai \(d = 2\).
b) Ta có: \({u_{n + 1}} – {u_n} = – 3\left( {n + 1} \right) + 1 – \left( { – 3n + 1} \right) = – 3\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên là cấp số cộng.
Cấp số cộng này có số hạng đầu \({u_1} = – 2\) và công sai \(d = – 3\).
c) Ta có: \({u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 – {n^2} – 1 = 2n + 1\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên không là cấp số cộng.
d) Ta có: \({u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{2}{{n + 1}} – \frac{2}{n} = \frac{{2n – 2n – 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{ – 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) trên không là cấp số cộng.