Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. Trả lời Giải bài 4 trang 39 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 2 – Bài 1. Đạo hàm. Gọi (C) là đồ thị của hàm số (y = {x^3} – 2{x^2} + 1)….
Đề bài/câu hỏi:
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} – 2{x^2} + 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng \(y = – x + 2\);
b) Vuông góc với đường thẳng \(y = – \frac{1}{4}x – 4\);
c) Đi qua điểm A(0; 1).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_0}T\) với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
Tiếp tuyến \({M_0}T\) có phương trình là: \(y – y\left( {{x_0}} \right) = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\)
Lời giải:
Với \({x_0}\) bất kì ta có: \(y’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y\left( x \right) – y\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} – 2{x^2} + 1 – x_0^3 + 2x_0^2 – 1}}{{x – {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} – x_0^3} \right) – 2\left( {{x^2} – x_0^2} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 – 2{x_0} – 2x} \right)}}{{x – {x_0}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x.{x_0} + x_0^2 – 2{x_0} – 2x} \right) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 – 4{x_0} = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 – 4{x_0} = 3x_0^2 – 4{x_0}\)
Vậy \(y’\left( x \right) = 3{x^2} – 4x\)
a) Tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) có phương trình là: \(y – f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\)
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng \(y = – x + 2\) nên \(f’\left( {{x_0}} \right) = – 1 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 4{x_0} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{3}\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)
Ta có: \(y\left( 1 \right) = 0,y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{22}}{{27}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = 1\) là:
\(y = y’\left( 1 \right)\left( {x – 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { – 1} \right)\left( {x – 1} \right) = – x + 1\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = \frac{1}{3}\) là:
\(y = y’\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {x – \frac{1}{3}} \right) + y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \left( { – 1} \right)\left( {x – \frac{1}{3}} \right) + \frac{{22}}{{27}} = – x + \frac{{31}}{{27}}\)
b) Tiếp tuyến tại điểm \({x_0}\) có phương trình là: \(y – f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right)\)
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng \(y = – \frac{1}{4}x + 2\) nên \(f’\left( {{x_0}} \right) = 4 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 4{x_0} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{ – 2}}{3}\\{x_0} = 2\end{array} \right.\)
Lại có \(y\left( 2 \right) = 1,y\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right) = \frac{{ – 5}}{{27}}\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = 2\) là:
\(y = y’\left( 2 \right)\left( {x – 2} \right) + y\left( 2 \right) = 4\left( {x – 2} \right) + 1 = 4x – 7\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(x = \frac{{ – 2}}{3}\) là:
\(y = y’\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right)\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + y\left( {\frac{{ – 2}}{3}} \right) = 4\left( {x + \frac{2}{3}} \right) + \frac{{ – 5}}{{27}} = 4x + \frac{{67}}{{27}}\)
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) tại điểm \({x_0}\) có phương trình là:
\(y – y\left( {{x_0}} \right) = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) \Leftrightarrow y = \left( {3x_0^2 – 4{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^3 – 2x_0^2 + 1\)
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) nên:
\(1 = \left( {3x_0^2 – 4{x_0}} \right)\left( {0 – {x_0}} \right) + x_0^3 – 2x_0^2 + 1\)\( \Leftrightarrow – 3x_0^3 + 4x_0^2 + x_0^3 – 2x_0^2 = 0\)
\( \Leftrightarrow – 2x_0^3 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow 2x_0^2\left( {{x_0} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 0\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = 1\) thì \(y’\left( 1 \right) = {3.1^2} – 4.1 = – 1,y\left( 1 \right) = 0\). Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: \(y = y’\left( 1 \right).\left( {x – 1} \right) + y\left( 1 \right) = \left( { – 1} \right)\left( {x – 1} \right) + 0 = – x + 1\)
Với \({x_0} = 0\) thì \(f’\left( 0 \right) = {3.0^2} – 4.0 = 0,f\left( 0 \right) = 1\). Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: \(y = y’\left( 0 \right).\left( {x – 0} \right) + y\left( 0 \right) = 0\left( {x – 0} \right) + 1 = 1\)