Sử dụng kiến thức về ứng dụng tính liên tục của hàm số vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình để chứng minh. Vận dụng kiến thức giải Giải bài 11 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1 – Bài tập cuối chương 3. Chứng minh rằng phương trình \({x^5} + 3{x^2} – 1 = 0\) trong mỗi khoảng \(\left( { – 2;…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh rằng phương trình \({x^5} + 3{x^2} – 1 = 0\) trong mỗi khoảng \(\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) đều có ít nhất một nghiệm.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về ứng dụng tính liên tục của hàm số vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình để chứng minh: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì luôn tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).
Lời giải:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^2} – 1\), hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số f(x) liên tục trên \(\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = – 21,f\left( { – 1} \right) = 1,f\left( 0 \right) = – 1;f\left( 1 \right) = 3\)
Vì \(f\left( { – 2} \right).f\left( { – 1} \right) = – 21 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm thuộc \(\left( { – 2; – 1} \right)\)
Vì \(f\left( { – 1} \right).f\left( 0 \right) = – 1 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm thuộc \(\left( { – 1;0} \right)\)
Vì \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = – 3 < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\)
Vậy trong mỗi khoảng \(\left( { – 2; – 1} \right);\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), phương trình \({x^5} + 3{x^2} – 1 = 0\) đều có ít nhất một nghiệm.