Tìm điều kiện cho bất phương trình. Giải bất phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số kết hợp biến đổi sử dụng công. Phân tích và giải Giải bài 64 trang 51 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 4. Phương trình – bất phương trình mũ và lôgarit. Giải mỗi bất phương trình sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Giải mỗi bất phương trình sau:
a) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 6} \right) < – 3;\)
b) \({\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) > 0;\)
c) \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x} \right) \ge \frac{1}{2};\)
d) \({\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {5 – 2x} \right);\)
e) \(\log \left( {{x^2} + 1} \right) \le \log \left( {x + 3} \right);\)
g)\({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x – 4} \right) > 0.\)
Hướng dẫn:
– Tìm điều kiện cho bất phương trình.
– Giải bất phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số kết hợp biến đổi sử dụng công thức lôgarit.
Lời giải:
a) Điều kiện: \(2x – 6 > 0 \Leftrightarrow x > 3.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x – 6} \right) {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 3}} \Leftrightarrow 2x – 6 > 8 \Leftrightarrow x > 7\left( {TM} \right).\)
b) Điều kiện: \({x^2} – 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 2 > {3^0} \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 2 > 1 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\end{array}\)
c) Điều kiện: \(2{x^2} + 3x > 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < – \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
\({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x} \right) \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x \ge {4^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x \ge 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x – 2 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow – 2 \le x \le \frac{1}{2}.\)
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra nghiệm của bất phương trình là:
\(0 < x \le \frac{1}{2}\) và \( – 2 \le x < – \frac{3}{2}.\)
d) \({\log _{0,5}}\left( {x – 1} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {5 – 2x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 \le 5 – 2x\\x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(\left( {1;2} \right].\)
e) \(\log \left( {{x^2} + 1} \right) \le \log \left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \le x + 3\\{x^2} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(\left[ {1;2} \right].\)
g) \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x – 4} \right) > 0 \Leftrightarrow – {\log _5}\left( {{x^2} – 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x – 4} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow lo{g_5}\left( {x – 4} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} – 6x + 8} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 4 > {x^2} – 6x + 8\\{x^2} – 6x + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 7x + 12 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < x 4\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {\rm{He\"a vo\^a nghie\"a m}}{\rm{.}}\)
Suy ra bất phương trình vô nghiệm.