Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại. Trả lời Giải bài 23 trang 74 sách bài tập toán 11 – Cánh diều – Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm. Cho hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{x – 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d\) song song với đường thẳng \(y = 5x – 2;\)
b) \(d\) vuông góc với đường thẳng \(y = – 20x + 1;\)
Hướng dẫn:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(P\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)
Lời giải:
Ta có: \(y’ = \frac{{x + 2 – \left( {x – 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\)
a) Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = 5x – 2\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = 5.\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.
\( \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = 5 \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = – 1\\{x_0} = – 3\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = – 1 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_1}\left( { – 1; – 4} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_1}\left( { – 1; – 4} \right)\) là:
\(y = f’\left( { – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + f\left( { – 1} \right) \Leftrightarrow y = 5\left( {x + 1} \right) – 4 \Leftrightarrow y = 5x + 1.\)
Với \({x_0} = – 3 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_2}\left( { – 3;6} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_2}\left( { – 3;6} \right)\) là:
\(y = f’\left( { – 3} \right)\left( {x + 3} \right) + f\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow y = 5\left( {x + 3} \right) + 6 \Leftrightarrow y = 5x + 21.\)
b) Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y = – 20x + 1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \(k = \frac{1}{{20}}.\)
Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị.
\( \Rightarrow y’\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{20}} \Leftrightarrow \frac{5}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{20}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 8\\{x_0} = – 12\end{array} \right.\)
Với \({x_0} = 8 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_1}\left( {8;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_1}\left( {8;\frac{1}{2}} \right)\) là:\(y = f’\left( 8 \right)\left( {x – 8} \right) + f\left( 8 \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}\left( {x – 8} \right) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}x + \frac{1}{{10}}.\)
Với \({x_0} = – 12 \Rightarrow \) tiếp điểm \({M_2}\left( { – 12;\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \)phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \({M_2}\left( { – 12;\frac{3}{2}} \right)\) là:
\(y = f’\left( { – 12} \right)\left( {x + 12} \right) + f\left( { – 12} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}\left( {x + 12} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{20}}x + \frac{{21}}{{10}}.\)