Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo Vận dụng 1 Bài 6 (trang 30, 31, 32) Chuyên đề học...

Vận dụng 1 Bài 6 (trang 30, 31, 32) Chuyên đề học tập Toán 11: Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C

Giải chi tiết Vận dụng 1 Bài 6. Phép vị tự (trang 30, 31, 32) – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\).

Câu hỏi/Đề bài:

Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là hình bình hành và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng. Khi sử dụng, người vẽ ghim cố định điểm O xuống mặt giấy (thước vẫn có thể xoay quanh O). Đặt hai cây bút tại hai điểm D và D’. Khi đầu bút D vẽ hình ℋ, đầu bút D’ sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ ’ là ảnh của ℋ.

a) Xác định tâm và tỉ số k của phép vị tự được sử dụng trong cây thước vẽ truyền ở Hình 5.

b) Nếu ngược lại cho đầu bút D’ vẽ hình ℋ ’ khi đó đầu bút D sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ là ảnh của ℋ ’. Xác định phép vị tự trong trường hợp này.

Hướng dẫn:

Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Lời giải:

a) Do ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết), suy ra \(\overrightarrow {OD’} = k\overrightarrow {OD} \)

Do đó \({V_{(O,{\rm{ }}k)}}\left( D \right){\rm{ }} = {\rm{ }}D’\) và \(OD'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.OD.\)

Vì D, D’ nằm cùng phía đối với O nên \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0.\)

Suy ra \(k = \frac{{OD’}}{{OD}}\)

Ta có AB // BD’ (do ABCD là hình bình hành) và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết).

Khi đó áp dụng định lí Thales, ta được \(k = \frac{{OD}}{{OD’}} = \frac{{OA}}{{OB}}\)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {O,\frac{{OA}}{{OB}}} \right)}}\)

b) Từ câu a, ta có \(\overrightarrow {OD’} = k\overrightarrow {OD} \,\,\left( {k{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {OD} = \frac{1}{k}\overrightarrow {OD’} \)

Khi đó \({V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {D’} \right) = D\)

Ta có \(\frac{1}{k} = 1:\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({{\rm{V}}_{\left( {O,\frac{{OB}}{{OA}}} \right)}}\)