Giải chi tiết Vận dụng 1 Bài 6. Phép vị tự (trang 30, 31, 32) – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Tham khảo: Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\).
Câu hỏi/Đề bài:
Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay tại các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là hình bình hành và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng. Khi sử dụng, người vẽ ghim cố định điểm O xuống mặt giấy (thước vẫn có thể xoay quanh O). Đặt hai cây bút tại hai điểm D và D’. Khi đầu bút D vẽ hình ℋ, đầu bút D’ sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ ’ là ảnh của ℋ.
a) Xác định tâm và tỉ số k của phép vị tự được sử dụng trong cây thước vẽ truyền ở Hình 5.
b) Nếu ngược lại cho đầu bút D’ vẽ hình ℋ ’ khi đó đầu bút D sẽ tự động vẽ truyền cho ta hình ℋ là ảnh của ℋ ’. Xác định phép vị tự trong trường hợp này.
Hướng dẫn:
Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM’} = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Lời giải:
a) Do ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết), suy ra \(\overrightarrow {OD’} = k\overrightarrow {OD} \)
Do đó \({V_{(O,{\rm{ }}k)}}\left( D \right){\rm{ }} = {\rm{ }}D’\) và \(OD'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.OD.\)
Vì D, D’ nằm cùng phía đối với O nên \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0.\)
Suy ra \(k = \frac{{OD’}}{{OD}}\)
Ta có AB // BD’ (do ABCD là hình bình hành) và ba điểm O, D, D’ thẳng hàng (giả thiết).
Khi đó áp dụng định lí Thales, ta được \(k = \frac{{OD}}{{OD’}} = \frac{{OA}}{{OB}}\)
Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {O,\frac{{OA}}{{OB}}} \right)}}\)
b) Từ câu a, ta có \(\overrightarrow {OD’} = k\overrightarrow {OD} \,\,\left( {k{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {OD} = \frac{1}{k}\overrightarrow {OD’} \)
Khi đó \({V_{\left( {O,\frac{1}{k}} \right)}}\left( {D’} \right) = D\)
Ta có \(\frac{1}{k} = 1:\frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OA}}\)
Vậy phép vị tự cần tìm là \({{\rm{V}}_{\left( {O,\frac{{OB}}{{OA}}} \right)}}\)