Thực hành 2 Bài 2 (trang 12, 13) Chuyên đề học tập Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến T_ → v với → v = (3;2). a) Biết ảnh của điểm M qua T_ → v

Câu hỏi/Đề bài:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = (3;2).\)

a) Biết ảnh của điểm M qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là điểm M’(-8; 5). Tìm tọa độ điểm M.

b) Tìm ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }}\)qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

Hướng dẫn:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow u \).

Nếu \(M'(x’;y’)\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.\)

Lời giải:

a) Đặt \(\;M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).\)Suy ra \(\;\overrightarrow {MM’} = ( – 8 – x;5 – y).\)

Theo đề, ta có \(M’ = {T_{\overrightarrow v }}(M)\;.\).

Suy ra \(\overrightarrow {MM’} = \overrightarrow v .\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} – 8 – x = 3\\5 – y = 2\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\;x = – 11\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ M(-11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đường tròn (C) có tâm I(2; -3), bán kính R = 4.

Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

Khi đó đường tròn (C’) có bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) và \(\overrightarrow {II’} = (x’ – 2;y’ + 3)\)

Ta có \(\;\overrightarrow {II’} = \overrightarrow {v\;} \) (vì \(I’ = {T_{\overrightarrow v }}(I)\))

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x’ – 2 = 3\\y’ + 3 = 2\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = 5\\y’ = – 1\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là \(I’\left( {5;{\rm{ }}-1} \right).\)

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.\)