Phép quay tâm O, góc quay \(\alpha \) : \({Q_{(O, \alpha )\;}}{\rm{[}}M\left( {x;y} \right)]{\rm{ }} = {\rm{ }}M’\left( {x’;y’} \right). \;\) Khi đó. Hướng dẫn trả lời Giải bài 6 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chuyên đề 1 – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 45°?
A. \(M’\left( {1;{\rm{ }}1} \right).\)
B. \(M’\left( {1;{\rm{ }}0} \right).\)
C. \(M’\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)
D. \(M’\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)
Hướng dẫn:
Phép quay tâm O, góc quay \(\alpha \) : \({Q_{(O,\alpha )\;}}{\rm{[}}M\left( {x;y} \right)]{\rm{ }} = {\rm{ }}M’\left( {x’;y’} \right).\;\)
Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x\cos \alpha – y\sin \alpha \\y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {1;1} \right)\). Suy ra \(OM = \sqrt 2 \)
Vẽ đường tròn (C) tâm O, bán kính OM.
Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}45^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho \(OM’ = OM = \sqrt 2 \) và \(\left( {OM’,{\rm{ }}OM} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ \;\) hay \(\widehat {MOM’} = 45^\circ \)
Kẻ \(MH \bot Ox\) tại H.
\(\Delta \) OMH vuông tại H: \(\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Suy ra \(\widehat {MOH} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {HOM’} = \widehat {HOM} + \widehat {MOM’} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)
Suy ra \(M’ \in Oy\) nên \({x_{M’}}\; = {\rm{ }}0.\)
Mà \(OM’ = \sqrt 2 \) (chứng minh trên) nên \({y_{M’}} = \sqrt 2 \)
Vậy tọa độ \(M’\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)
Do đó ta chọn phương án D.