Vẽ hình, dựa vào phép vị tự, suy luận để chứng minh. Trả lời Giải bài 10 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chuyên đề 1 – Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo. Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?
Hướng dẫn:
Vẽ hình, dựa vào phép vị tự, suy luận để chứng minh
Lời giải:
Đặt \(IO{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }}\left( {d{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right).\)
∆MOI có ON là đường phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: \(\frac{{NM}}{{NI}} = \frac{{OM}}{{OI}} = \frac{R}{d}\)
Suy ra \(\frac{{NM}}{{NI}} + 1 = \frac{R}{d} + 1\)
Khi đó \(\frac{{NM + NI}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}\)
Vì vậy \(\frac{{IM}}{{NI}} = \frac{{R + d}}{d}\)
Suy ra \(\frac{{IN}}{{IM}} = \frac{d}{{R + d}}\)
Do đó \(IN = \frac{d}{{R + d}}.IM\)
Vì vậy \(\overrightarrow {IN} = \frac{d}{{R + d}}.\overrightarrow {IM} \) (do \(\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {IM} \) cùng hướng).
Khi đó phép vị tự tâm I, tỉ số \(k = \frac{d}{{R + d}}\) biến điểm M thành điểm N.
Giả sử khi M ở vị trí sao cho ba điểm O, M, I thẳng hàng (tức là, \(\widehat {IOM} = 0^\circ \) )thì tia phân giác của góc MOI không thể cắt IM tại N.
Tức là, điểm N không tồn tại.
Ta đặt \({M’_0} = {V_{\left( {I,\frac{d}{{R + d}}} \right)}}\left( {{M_0}} \right)\), với M0 là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm \(O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I\) thẳng hàng.
Vậy khi M chạy trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm O, M, I không thẳng hàng thì N chạy trên một đường tròn \(\left( {O’;{\rm{ }}R’} \right)\) cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số \(k = \frac{d}{{R + d}}\) sao cho \(\;N{\rm{ }} \ne {\rm{ }}{M_0},\) với M0 là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm \(O,{\rm{ }}{M_0},{\rm{ }}I\) thẳng hàng